Ryan's blog

就这样，该走了，学习时间到

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引言: 亚椭圆 Fredholm 指标理论

我的感悟：算子 的解析指标

： ，代表定义域中被 搞没了的空间，是 力量过强的 part； ，代表陪域中 始终无法涉足的空间，是 力有不逮的part。 因此， ，可以视为衡量了 的净力量。

上面这个解析指标，如果它存在的话（即有限），这样的算子就被专门叫做Fredholm算子。也就是说，Fredholm算子=拥有有限解析指标的算子。

Atiyah-Singer做了一件了不起的事。他们给椭圆Fredholm算子的解析指标，提供了一个纯拓扑的计算方法。
> 这一计算方法中间，所用的是由椭圆算子 的主符号 所确定的上统调类 。

但是，他们仅仅是对于椭圆算子做的。对于抛物型和双曲算子（都是亚椭圆算子），他们则没有涉及。坏消息是，亚椭圆算子并不一定是Fredholm算子，也就是不一定拥有有限解析指标。但好消息是，尽管如此，证明一个算子是亚椭圆的时候一般可以顺带证明Fredholm。因此对于一些重要的亚椭圆算子，若能顺带证明其为Fredholm，则自然令人期待，他们也可以向椭圆算子那样，由纯拓扑的方法计算出来。
首先将这期待变为现实的是 Hormander，他在Atiyah-Singer发现椭圆算子指标定理后十年，将这一定理推广到一类亚椭圆算子上。
本文任务是，介绍一种基于非交换拓扑的，计算亚椭圆算子指标的新方法（相较于Epstein and Melrose's）。它将还原椭圆算子Atiyah-Singer指标定理的本来面目，于亚椭圆算子上。
  • 当然，也不能全部好事都占到，这个亚椭圆算子指标理论，其经典代数拓扑形式，只能由其非对称拓扑形式，一个例子一个例子地得到，不同例子长得也不一样。
    • 先从关于 三维流形上二阶亚椭圆偏微分方程的新指标公式 的陈述开始。
    尽管非交换拓扑听上去非常吓人，但是基于它的指标定理却可以非常接地气——比如在本文中，仅仅用到“环绕数”的概念，比经典的椭圆算子指标定理还要简单。

    接下来，我们就要解决两个问题，第一，为什么原版的Atiyah-Singer指标定理可以说是“万指（标定理）之母”；第二，由上一段中、仅用到环绕数的最简单指标定理，揭示它背后所隐藏的非交换指标定理。

    坏消息是，在回答第一各问题时，对于原版Atiyah-Singer指标定理的解读，其中的上同调类是一个棘手的东西，它的计算难度象征代数的频谱复杂度直接相关。

    世界上最简单的指标定理

    像前面说的，由3-流形上的一类二阶PDE开始讨论。

    在局部坐标系中，讨论二阶微分算子: 其中系数都是流形上的光滑函数。

    • 如果 是一个具有负特征值的实对称矩阵 —— 这样一来 在本质上就是一个拉普拉斯算子 —— 那么算子 是椭圆型的，因而也是Fredholm 型的（所以有有限指标）。

    • 而如果 是是可以退化矩阵，只有两个负特征值和一个零特征值，为简化起见，我们可以通过重新整理坐标系，使得在新坐标系下， 可以表为 . 其中 是流形上的局部向量场。

      • 坏消息，这当然不再是椭圆算子，那么就不能在用“因为椭圆，所以Fredholm，所以有有限指标”的逻辑链。
      • 好消息，尽管如此，Hormander提供了一个充要，可以以证明一个实系数二阶微分算子是亚椭圆的.
        • 这个条件是所谓的括号生成 条件:

    性质1. 括号生成 条件:

    如果局部向量场 以及它们的括号 在每个开集上生成 （在其中 有上述表示），并且如果 有实数系数，则 是拟椭圆型的且是Fredholm算子。 有了这个条件, 我们就可以继续开心地寻找算子 的指标了.

    • 坏消息: 满足这个Hormander条件(即括号生成条件)的算子, 他们的指标都是无趣的0.
    • 好消息: 可以通过放宽Hormander条件中 "有实系数" 的妥协, 改为允许有复系数, 获得非平凡指标.
      • 于是可以简化地写为
      • 坏消息: 改为复系数后, hormander条件不再适用, 暂时没办法证明是Fredholm了.

    好消息: 我们所要研究的算子是广泛存在于每一个可定向3-流形中的, 基于一些著名的事实.

    概念与事实

    • 概念-: 是局部向量场 张成的全局向量场(这可以做到, 很容易验证).
    • 事实0: 对于局部sections , 其上Hormander括号生成条件 = 是 M 上的切触结构.
    • 事实1-(Martinet’s theorem): 根据切触拓扑学中的一个基础结论，每一个闭的可定向三维流形都存在一个切触结构。
    • 事实2-(Lutz’s theorem): 在切丛 中，每一种定向二维平面丛的同伦类型里都存在切触结构。

    M的可定向性是必要的, 因为 就已然确定了一个M的定向.

    性质2. 的定义是好的

    在算子 的局部表示中，-系数 是一个定义良好的全局函数 。 有了这个结果, 我们就能放心大胆地对 搞事情了.

    性质3. 终于, 使亚椭圆算子和椭圆算子一样, 成为Fredholm

    • 如果 系数 的取值范围不包含任何奇数，则算子 是Fredholm算子。 终于又可以开心地寻找指标了.
    • 该结果表明, P的指标只依赖于 切触结构 和 的系数函数 (更准确地说, 是其伦型).

    定理1(本文主要定理). 用切触结构 和 函数 表示 的指标这个问题, 可以用下面这个定理简单地表达.

    设 是流形 中的一个定向链环 (oriented link)，使得 1-cycle 表示欧拉类 的庞加莱对偶。对于每个奇数 ，有限集合的环路 有一个环绕数

    算子 的Fredholm指标是这些环绕数的 -线性组合，

    解读该定理

    1. 若算子 的所有系数都是实数，则, 是纯虚数且映射 奇数 是可收缩的。 那么, 定理1表明, 。这并不令人惊讶，并且可能可以通过从 到自伴算子的直接同伦证明。
    2. 然而，定理1还表明，如果向量场 和 在表示 中是全局定义的，则也有 ，无论 的同伦类型如何。这个推论的初等证明就不像上一条那样好找了。

    改变"阶数"的定义, 以适应需求

    令人疑惑: 为什么算子的 Fredholm 性质依赖于低阶项 呢？ 简而答之: 因为这一项在新的"阶数"定义中, 也属于最高阶项.

    坏消息: 对于二阶微分算子 , 在某点 上, 其传统意义上的最高阶项 , 在整个流形M上并不是一个良定义的微分算子.

    坏消息: 由这些微分算子构成的代数, 仅仅是filtered代数, 而不是graded代数.

    小小的好消息: 尽管在流形上表现不佳, 在切纤维 上却是良定义的, 并且通常设为常系数的, 而且与坐标选取无关.

    好消息: 只要我们转变思路, 调整我们对"阶数"的指定 (在filteration代数中, 也可以说是调整对层级的指定) , 就可以解决上面的两个坏消息. 具体来讲, 就是把 "抬阶" 至最高阶部分.

    注意，在相关分次代数 (Graded algebra) 中，光滑函数 与所有向量场 可交换，因为换位子 的阶数为 。这意味着分次代数中的元素可以在点 处局部化 (这"意味着"有道理吗?)。

    形式上，这种局部化的结果是： 。 这不就是小红书上的模算子嘛!

    • 坏消息: 和之前一样， 的最高阶部分不是 上的一个算子 (同 一样, 原因仍然包括, 1. 假如在某点处, 由定义出对应的坐标系, 那么其中所产生的系数, 还有系数依然也许会因为坐标转换, 而不再协调; 2. 在除了的其他地方, 一换坐标系, 还是不可避免地要引入低阶项.)，
    • 好消息: 但它可以自然地解释为 中各点 对应的 构成的光滑族， 是切纤维 上的算子。
    • 坏消息: 不同之处在于，在海森堡演算中，算子 不再是常系数算子 (因为有了了嘛)，
    • 好消息: 而是对于切纤维上的幂零群结构具有左不变性的算子。(不禁联想起, 小红书中, 从model 向量场, 到model算子, 都是在Heisenberg群结构下左不变的.)

    通过施加换位关系 ，，可以将 （或者更精确地说，）与海森堡群等同起来。

    那么的 - 最高阶部分, 就是在（分次的）海森堡群上, 由左不变齐次算子构成的光滑族。 至此, 我们重新定义了阶数.

    现在我们可以阐述海森堡演算中关于亚椭圆算子的主要结果。

    定义 4 Rockland 算子

    在分级幂零群上的 -齐次不变算子是一个 Rockland 算子，如果对于该群的所有不可约酉表示 ，除了平凡表示外， 是可逆的。 简而言之, 就是说是一个好算子.

    定义 5

    如果在一个Heisenberg计算中的 -最高阶模型算子 全部都是Rockland算子，那么微分算子 是 -椭圆的。

    交换群 海森堡群
    Rockland 算子 齐次椭圆常系数算子
    椭圆性 模算子是Rockland算子 -椭圆:模算子是Rockland算子

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    特性 连续性（Continuity） 强制性（Coercivity，也叫elliptic）
    定义 存在常数 ，使得对于所有 ，有 。 存在常数 ，使得对于所有 ，有 。
    作用 保证双线性形式 的有界性，防止其值过大。 保证双线性形式 的正定性，确保解的唯一性和稳定性。
    应用 结合强制性条件，通过Lax-Milgram定理保证变分问题解的存在性。 结合连续性条件，通过Lax-Milgram定理保证变分问题解的存在性和唯一性。
    数学意义 反映了双线性形式的光滑性和可控制性。 反映了双线性形式的正定性和解的稳定性。
    示例 对于 ，连续性条件通常通过Poincaré不等式来验证。 对于相同的 ，强制性条件可以通过椭圆正则性来验证。

    参考：Wiki百科上的Bilinear form

    一条鞭法：谁在 前面，谁就是受控制的那个。

    • 连续性：在映射 中，输出 像 被输入 原像 控制；
    • 强制性：在方程 （对所有测试函数皆成立）中，输出 解 被输入 双线性形式 和 像 控制。
    • 例：拉普拉斯方程的弱形式 验证：
    • 首先， 的确是一个双线性形式；
    • 名字由来：若没有边界；
    • 取，并微分两边，就可以得到经典的拉普拉斯方程 。
    • 其次， 还满足连续性条件；
    • 再次，。选择 ，则 。满足强制性条件。

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    前言：本文与小蓝书有关 ## 基础版：当粒子只是布朗运动i.e.对应热方程 * 假设一个粒子的初始位置在（通常设为），时刻位置，遵循如下规律：，其中为在概率测度下的Wiener过程（也叫布朗运动） * 如在上，，。

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    热方程的渐近展开

    引论

    • 1930年代，在研究“拉普拉斯算子的特征值渐近行为”的过程中，人们逐渐注意到，可以借助由特征值构成的Dirichlet级数 ；

    • 50年代，得到了这个级数的第一个展开：在某平面区域上，

      • M.Kac使用多项式近似，猜测其中.
      • 后续，McKean和Singer顺着Kac的思路，给出了热方程在边值条件下解（Green function）的精确估计；
        这些估计使得在一般情况下得以推出。

    • 与此同时，Atiyah和Bott提出一种计算-维紧流形上椭圆微分算子的指标的方法，以解析的方式：

      • 其中两项分别可以展开：记的阶数为，
      • 因此有
        • 为什么，这大体是因为和极为相似。

    本文目的

    在这篇论文中，我们将证明存在一个渐近展开式，形式如下： 当 ，对于相当一般的阶数为 的椭圆型微分算子。这里 是一个相对紧致的开流形，有或没有边界。特别是，我们将得到系数 的显式公式，这些系数是 的局部表示的系数的函数。然而，一般来说，将这些系数几何地解释的问题仍然悬而未决。

    无边紧流形

    1.0记号

    1.1 中的拟基本解

    1. 简化问题：由于求抛物算子 的拟基本解是一个局部问题，所以可以限制在一个有界开集上；此外可以限制是一个椭圆算子，记为 ，其中是一个矩阵，当然一般我们都取。
    2. 根据假定是椭圆的定义，即对于主象征矩阵 ，其特征值通通满足；
      • 为了保证这一点，必须是关于的偶数齐次函数。
    3. 下面开始正式寻找算子的近似逆算子，通过计算象征的方法。
      结论：象征为 。
    4. 这个近似逆算子的象征，还可以转换为卷积核的形式：
      ；
    5. 将近似逆算子的象征中每项都拆解成齐次项相加： 。
      • 所依据的武备只有一条，的（形式）Taylor展开：
    6. 将所有相同次数的齐次象征都加一块，.
    7. 因此每个齐次象征可诱导一个齐次伪微分算子：。
    8. 当然，这个齐次象征也有它对应的卷积核版本，。
      但我们只关注其迹 ，其中
      • 关于该迹的结果，将在最后一小节中展示。

    1.2 的一致点估计

    Theorem 1.2.5. For , 满足估计

    1.3 全局拟基本解

    与第一小节的区别

    回忆第一小节，那里所计算的，是中的一个有界开集上，类热算子的近似逆算子。 本小节，要将其推广到，整个流形上的类热算子之近似逆算子。

    我们给第一小节写个补充：

      • 如前所述，是阶近似逆算子的热核，这个式子，便是该近似热核算子，作用在一个测试函数上；右侧便是该近似逆算子作为伪微分算子的作用公式。
      • 衡量了近似热核距离真正热核的差距；
      • ；
        • 这是在说，所差不是很大。

    易混淆点

    • ，代表的是，初始温度分布在边界上及之外，都是0；
    • 但这并不代表，随后的温度也是如此；
    • 因此，近似热核函数也是定义在全空间上的，而非仅在上。
      • 这是在将定义在上的近似热核，限制到上。
      • 其中，。
    • ，当 ，此外 是某正数。
      • 这如同上面的补充一样，是在衡量限制版近似热核，与真正热核的差别。
    • 上面铺垫完了，下面进入正题。
    • 对于流形，我们首先建立一个有限开覆盖 ，以及一个适配的单位分解 .
    • 记开区域 上，类热算子 的 阶近似热核，，似比于上面的
    • 定义 的局部限制版 ，类似于上面的 。
      • 将局部限制版的近似热核拼凑在一起，便是全局近似热核。

    1.4 基本解

    本节目的

    依据上一节计算出的拟基本解 ，计算出真正的基本解 。

    首先，对上一节中，近似热核与真正热核的差距一事，进行重述。

    引理 1.4.1. 对于每个 ， 满足

    > 注意：我认为这里应当是，才能与下面匹配。

    其中 ，并且满足估计

    对于某些 。

    本节结果

    定理 1.4.3. 设 为固定值，。则存在一个基本解 ，，对于算子 在 上。对于每个固定的 ，。如果写成

    则有

    对于某些 和 ，仅依赖于 。此外，对于 和 ，

    • (1.4.4)中余项 来自(1.4.1)；也就是说是 被后的像。
      不严格地，可以将此二者混为一谈。 可以显示地写出：。

    • 接下来进行一点收尾工作（万分重要，这才是我自己的理解，可以直接看俩表和加粗文字）

    1.5 的唯一性

    总之，本小节就是利用热算子半群，证明热核的唯一性。

    1.6. 渐近展开式

    现在回顾 § 中最后提到的： > 当然，这个齐次象征也有它对应的卷积核版本，。
    但我们只关注其迹 ，其中

    由上一节 Lemma 1.5.5， 是一个合格的局部拟基本解。于是 可以做 的合格估计。
    因此，其齐次分解的加和 自然也可以做 的合格估计。

    由 的这一渐进展开可看出，它跟流形上的度量有关。
    但另一方面，热核 对应的算子 ，却又与度量无关。因此我们可以对热核的迹，进行一些处理，应当与度量无关。自然的想法是，在整个流形上对迹进行积分。

    定理1.6.1 对热核的迹进行积分

    当 趋近于 时，我们有以下渐近展开：

    其中 从 到 ，在 上均匀成立。因此，

    其中

    这里 ，且任意 。利用 ， 和 ， 以及因此 可以显式地通过 的系数计算出来，只要这些系数在局部坐标中给出。此外，如果 为奇数，则 。

    备注 简化问题的例子：当算子为自伴算子时。

    设 为自伴且正定。则 有一组完备的特征截面 和特征值 ，，按照它们的重数计数。则有

    其中 表示共轭转置。由于 ，，具有范数1， 依赖于度量 的选择，因此

    另一方面，

    显然与度量的选择无关。

    !!! 总结 本文提供了无边流形上，对于一般椭圆算子 的热核，其迹拥有渐进展开式，也就是定理1.6.1（以及其特例）。 根据这个核迹的渐近展开，我们便可以计算Atiyah和Bott所提出的，算子指标公式中的各项，即 。

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    • 中心思想：把原空间上的“卷积算子作用在函数上”，通过傅里叶变换，转换为相空间上“函数乘以函数”的演算
    • 在欧式空间中：考察对象为常系数微分算子，（在傅里叶变换侧，为乘以操作。）
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    之所以对流形上拉普拉斯算子热核的渐进展开感兴趣，其原因在于人们发现其包含了流形的许多几何信息（至少在黎曼流形上是如此）。

    在上一篇文章中，我们已经得到了一般的2步幂零李群、特别地Heisenberg群上的Kohn拉普拉斯的热核，此处我们进一步取仅具有两个horizontal向量场的Heisenberg群——. 那么其上次拉普拉斯算子 热核就是

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    导言

    • 随便抓取一个光滑流形的切丛的子丛，硬称其为horizontal向量丛（若维度与位置无关，称为这样的子切丛为regular distribution），
    • bracket generating condition，并非是horizontal向量丛一定满足的性质。
    • 以及二者的关系——Chou定理。
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    标准伪微分算子

    • II中第一章引进函数类，以作为那里象征函数之所在。
    • 这里我们扩展这一国界，得到所谓函数类，它与之前函数类的唯一不同便是，它对协变变量的求导，开始随求导的阶数增大而变小，且初始即求阶偏导时，可由上控制。
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    算子，象征，复合与不变性

    • 对于实向量空间上函数的线性微分算子，其象征 的一种定义是：满足 ，其中 对偶空间。
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    微分算子和它们的模

    • M是维光滑流形。
    • 是一个二阶微分算子，其中乃实向量场、乃复向量场，乃实函数（设正定）。
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    • 主丛 代数意义：主丛就是将普通的纤维丛上的每个纤维，赋予同一个群结构。

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    • 张乘和对偶模

      定义两个R-模的张乘 >> 证明模的张乘满足universal mapping property 代数意义：两个模的张乘代表从两个模的free product中剔除那些不双线性的元素 >> 两个模张乘的基就是基的分别张乘

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    • 继续仿射联络

      定义了在黎曼流形上，沿某曲线的向量场的关于联络的协变导数, 其中是在流形上的延拓。这推广了上沿曲线的向量场的导数。

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    • 向量丛上的联络：Motivation： 从特殊的向量丛——切向量丛上的联络，推广到一般向量丛上 >>> 再一次通过线性和Leibniz法则定义

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    • 微分几何建立在微分流形上，但比微分流形多了测量长度的“尺”，即（黎曼）度量。
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    分次代数

    1. 分次代数 Graded algebra 的定义
      • 分次代数可以分解为直和：
      • 满足乘法性质： 巴别塔: 第0层, 第1层是, ...... 对于某一层上的元素, 它是第k层上居住的魂兽, 一个第k层上居住的魂兽, 和第l层上居住的魂兽, 可以融合, 融合后得以升入层居住.
    2. 相关分次代数的结构
      • 考虑流形上的代数，包含：
        • ：所有光滑函数。
        • ：所有向量场。
        • 对于，包含更高阶的微分算子或张量场。 第0层的魂兽是函数, 它们的能力是将人界(流形)中的每个人变成一个数字. 第1层的魂兽是向量场, 它们的能力是在人界上制造一场全球流场(如风场, 水场, 磁场等), 并且它们可以利用这流场, 洞察出函数魂兽能力的细微变化(在沿流之方向上的). ... 那么, 一个向量场, 和一个函数的融合, 是什么呢. 按理说, 应该还是向量场, (否则就不能称其为Graded algebra了), 可是是什么向量场呢? 应当这样理解: 对于任意函数, 向量场, 使得, 也就是说, 是这样的向量场, 沿着它, 的增速应该是这样子的. 而若真是向量场, 还需要满足, 对于, 应有其增速为的增速乘以加上的增速乘以这样的天然Leibniz制约. 我们可以验证: , 不满足Leibniz制约, 说明它不是一个向量场, 是不成立的. 卧槽! 也就是说这并不是一个Graded algebra. 难道van Erp写错了?
    1. 换位子的定义与计算
      • 换位子定义为：
      • 其中：
        • ：向量场作用在函数上，结果为函数，属于。
        • ：函数乘以向量场，结果为向量场，属于。 一个向量场魂兽和函数魂兽的对易, 一般来说, 两个魂兽的对易, 诞生的孩子是这两个非交换性, 例如两个流场, 风流场和水流场的对易 , 就是可视化微分几何一书中, 那张著名的近似平行四边形之图中的, 小短边.
          但是风场魂兽和函数魂兽的对易, 因为层级太低, 所以只能是 , 也就是风场魂兽利用其风场, 洞察函数魂兽, 在将人变成数字的时候, 在风向上是如何变化的. 这一对易出的孩子是一个函数魂兽. 辨析: 融合和赋值不是一回事. 前者 都是对其他魂兽的作用(算符), 可以称为 "系数算子", 它是把其他函数魂兽把人变成的数, 在乘上; 后者直接是被洞察的函数魂兽.
    1. 换位子的阶数
      • 的结果包含一个元素和一个元素。
      • 但是, 我们将公式写完整, 则有法则 但由于的阶数为，意味着的影响在阶数上被忽略，换位子主要由决定，属于。
    2. 可交换性的意义
      • 换位子的阶数为表明向量场和函数在代数结构中几乎可交换，其交换偏差是一个零阶元素。
      • 这种可交换性允许分次代数中的元素在流形上的点处进行局部化，即在局部范围内可以近似认为和是可交换的。 首先纠正一个易错点, 数学上的某某可局部化不等价于说, 某某是 线性的. 事实上, 某某是 线性的, 也就是对于 , , 是算子 是 point-算子的充要条件. 这也可以说, 算子和 (以乘法的形式, 视为一种算符), 是可交换的, 或者说. 而是局部算子, 它的充要条件是, , 这是因为, 局部上, 和 的非交换性, 仅差一个-阶元素, 也就是函数. 虽然不能说, 像point-算子那样, 算子与函数乘完全交换, 但至少, 离交换差的也不多了, 多乎哉? 不多也. 只差一个0阶项而已. 一个例子是, 微分算子, 或者说是某个向量场, 因为有 Leibniz法则的缘故, 它们不和函数乘完全交换, 因此也不能算是point-算子, 因为某点附近的点, 其信息发生改变, 也会影响到该算子在该点的结果. 但是, , 那么这个 便是阻碍 成为完全交换的量, 可以看到, 它是函数 在x点的值, 乘上 在x点的值. 尽管"与函数的对易是函数", 不能作为 local的证据. 但是至少是 作为对比 不管是什么, 绝对不会是0阶元素.

    最终答案： 因为在相关分次代数中，换位子的阶数为，表明光滑函数与向量场可交换，从而允许元素在点处局部化。

    由上一处紫字可知, 普通的向量场与向量场的二阶项, 似乎无法作为Graded algebra的各级(grades), 因为会出现如

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    一次在多行开头插入光标

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    在引用中，不能使用list的md code，只能写html源码。