引言: 亚椭圆 Fredholm 指标理论
我的感悟:算子
Atiyah-Singer做了一件了不起的事。他们给椭圆Fredholm算子的解析指标,提供了一个纯拓扑的计算方法。
> 这一计算方法中间,所用的是由椭圆算子的主符号 所确定的上统调类 。
接下来,我们就要解决两个问题,第一,为什么原版的Atiyah-Singer指标定理可以说是“万指(标定理)之母”;第二,由上一段中、仅用到环绕数的最简单指标定理,揭示它背后所隐藏的非交换指标定理。
坏消息是,在回答第一各问题时,对于原版Atiyah-Singer指标定理的解读,其中的上同调类是一个棘手的东西,它的计算难度象征代数的频谱复杂度直接相关。世界上最简单的指标定理
像前面说的,由3-流形上的一类二阶PDE开始讨论。
在局部坐标系中,讨论二阶微分算子
如果
是一个具有负特征值的实对称矩阵 —— 这样一来 在本质上就是一个拉普拉斯算子 —— 那么算子 是椭圆型的,因而也是Fredholm 型的(所以有有限指标)。 而如果
是是可以退化矩阵,只有两个负特征值和一个零特征值,为简化起见,我们可以通过重新整理坐标系,使得在新坐标系下, 可以表为 . 其中 是流形上的局部向量场。 - 坏消息,这当然不再是椭圆算子,那么就不能在用“因为椭圆,所以Fredholm,所以有有限指标”的逻辑链。
- 好消息,尽管如此,Hormander提供了一个充要,可以以证明一个实系数二阶微分算子是亚椭圆的.
- 这个条件是所谓的括号生成
条件:
- 这个条件是所谓的括号生成
性质1. 括号生成
如果局部向量场
- 坏消息: 满足这个Hormander条件(即括号生成条件)的算子, 他们的指标都是无趣的0.
- 好消息: 可以通过放宽Hormander条件中 "
有实系数" 的妥协, 改为允许 有复系数, 获得非平凡指标. - 于是
可以简化地写为 - 坏消息: 改为复系数后, hormander条件不再适用, 暂时没办法证明
是Fredholm了.
- 于是
好消息: 我们所要研究的算子
概念与事实
-
概念-
: 是局部向量场 张成的全局向量场(这可以做到, 很容易验证). -
事实0: 对于局部sections
, 其上Hormander括号生成条件 = 是 M 上的切触结构. - 事实1-(Martinet’s theorem): 根据切触拓扑学中的一个基础结论,每一个闭的可定向三维流形都存在一个切触结构。
-
事实2-(Lutz’s theorem): 在切丛
中,每一种定向二维平面丛的同伦类型里都存在切触结构 。
M的可定向性是必要的, 因为
就已然确定了一个M的定向.
性质2.
在算子
性质3. 终于, 使亚椭圆算子
-
如果
系数 的取值范围不包含任何奇数,则算子 是Fredholm算子。 终于又可以开心地寻找指标了. -
该结果表明, P的指标只依赖于 切触结构
和 的系数函数 (更准确地说, 是其伦型).
让人困惑不解的是, 尽管早在1970年代晚期, 上面的事实就已经被发现, 而且 Beals 和 Greiner 还已经就类似的算子, 在小红书中已经计算过叻. 但是, 直到 Epstein and Melrose, 人们才开始思考这个问题: 我们能否用接触结构
的同伦类型以及映射 ,将算子 的 Fredholm 指标表示为一个 “拓扑指标”? 这是因为, 长久以来, 人们一直保持着一个错误的印象: 既然, 所有标量椭圆型微分算子的指标都为零,而且在奇数维流形上的所有椭圆型微分算子(作用于向量丛的截面)也是如此。而我们这里研究的, 正是奇数维流形上的标量算子。如果存在某种明显的方法, 可以将这些亚椭圆算子的指标问题, 简化为椭圆型问题,人们可能会预期在所有情况下指标都为零。 那么为什么后来又开始思考了呢? 这是因为, 现在这个错误印象已得到解决,我们已知道除了同调球面外,每个三维流形都存在我们在此研究的, 具有非平凡指标的亚椭圆型标量微分算子.
定理1(本文主要定理). 用切触结构
设
算子
解读该定理
-
若算子
的所有系数都是实数,则, 是纯虚数且映射 是可收缩的。 那么, 定理1表明, 。这并不令人惊讶,并且可能可以通过从 到自伴算子的直接同伦证明。 -
然而,定理1还表明,如果向量场
和 在表示 中是全局定义的,则也有 ,无论 的同伦类型如何。这个推论的初等证明就不像上一条那样好找了。
改变"阶数"的定义, 以适应需求
令人疑惑: 为什么算子的 Fredholm 性质依赖于低阶项
坏消息: 对于二阶微分算子
因为这个最高项仅包含二阶项, 一换坐标系, 就不可避免要出现低阶项, 因此, 仅最高项不能说在整个流形上有良定义.(这其实只是其一, 另一个原因是系数不一定是一个二阶张量的components.见下面Deepseek的分析.)
关键区别:最高阶项的坐标变换规则
对于二阶微分算子
,其最高阶项 的系数 需要满足二阶协变张量的变换规则:
若系数
不按此规则变换,则 在流形 上不协调。 为何在流形上不协调?
- 系数可能非张量:若最高阶项的定义未强制满足张量变换规则,其系数在不同坐标系下无法保持一致性。
- 低阶项的干扰:坐标变换会引入低阶项(如一阶和零阶项),破坏最高阶项的独立性。
以上来自DS的回答
坏消息: 由这些微分算子构成的代数, 仅仅是filtered代数, 而不是graded代数.
因为只能满足过滤代数的要求:一个代数配有一个递增的序列
好消息: 只要我们转变思路, 调整我们对"阶数"的指定
(在filteration代数中, 也可以说是调整对层级的指定) ,
就可以解决上面的两个坏消息. 具体来讲, 就是把
海森堡演算
本质上,海森堡演算只不过是探究在
上的微分算子代数采用一种替代滤子 (alternative filtration) 后所产生的结果。该滤子定义如下:所有沿接触场 方向的向量场(如 和 ),和往常一样, - 阶数为 ,但任何并非处处与 相切的向量场(如 ),其 - 阶数为 。那么在海森堡演算中, 的最高阶部分显然将包含 这一项。但我们还必须研究在这种新的演算中,“最高阶部分”到底意味着什么。 从抽象意义上讲,对于任何带滤子的代数,“最高阶部分”的概念是指相关分次代数 (Graded algebra) 中的一个元素。所以我们需要为具有海森堡滤子的微分算子代数的相关分次代数, 找到一个解析模型。
注意,在相关分次代数 (Graded algebra) 中,光滑函数
Filtered algebra
Associated graded algbra
注意,
相应的, 为了达到
相似地, 为了达成
warning
总结:
因为在对应graded algebra中,
形式上,这种局部化的结果是:
- 坏消息: 和之前一样,
的最高阶部分不是 上的一个算子 (同 一样, 原因仍然包括, 1. 假如在某点处, 由 定义出对应的坐标系, 那么其中所产生的系数, 还有系数 依然也许会因为坐标转换, 而不再协调; 2. 在除了 的其他地方, 一换坐标系, 还是不可避免地要引入低阶项.), - 好消息: 但它可以自然地解释为
中各点 对应的 构成的光滑族, 是切纤维 上的算子。 - 坏消息: 不同之处在于,在海森堡演算中,算子
不再是常系数算子 (因为有了 了嘛), - 好消息: 而是对于切纤维上的幂零群结构具有左不变性的算子。(不禁联想起, 小红书中, 从model 向量场, 到model算子, 都是在Heisenberg群结构下左不变的.)
通过施加换位关系
那么
如果想要得到模算子
虽然这种代入在分析文献中很常见,但对我们的目的并无帮助。我们更倾向于保留
现在我们可以阐述海森堡演算中关于亚椭圆算子的主要结果。
定义 4 Rockland 算子
在分级幂零群上的
定义 5
如果在一个Heisenberg计算中的
| 交换群 |
海森堡群 | |
|---|---|---|
| Rockland 算子 | 齐次椭圆常系数算子 | |
| 椭圆性 | 模算子 |
- 表示, 把群元素映为线性映射, 保持群结构
- 酉表示, 该表示保持内积.
- 特征标: 一个群的不可约表示的的特征标为, 其对应矩阵的迹
- 与傅里叶理论的关系: 若群为可交换群, 则由Schur引理,
Pontryagin对偶定理等得知, 其不可约酉表示只能是平面波,
于是其特征标只能是
- 因此说, 对称群酉表示理论和傅里叶理论是一回事.